Rachunek całkowy Ułamki

Całkowanie ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju

Twierdzenie 1: o całkowaniu ułamków prostych pierwszego rodzaju

Do obliczenia całki z ułamka prostego pierwszego rodzaju

\( \int \frac{ A }{ (x-a)^k }\, dx \)

stosujemy wzory:

Jeśli \( k=1 \), to
\( \int \frac{ A }{ x-a }dx = A\ln|x-a| + C, \)
Jeśli \( k>1 \), to
\( \int \frac{ A }{ (x-a)^k }= \frac{ A }{ (1-k)(x-a)^{ k-1 } } +C. \)

Przykład 1:

Obliczmy całkę z ułamka wymiernego

\( \int \frac{ 4x+3 }{ x^2+3x+2 } dx. \)

Chcąc rozwiązać całkę z ułamka wymiernego, w pierwszej kolejności musimy rozłożyć funkcję podcałkową na ułamki proste. Zatem zauważmy, że w podcałkowym ułamku wymiernym rozkład mianownika na czynniki ma postać,

\( x^2+3x+2=(x+1)(x+2), \)

a więc otrzymujemy następujący rozkład na ułamki proste

\( \frac{ 4x+3 }{ x^2+3x+2 }=\frac{ A }{ x+1 } +\frac{ B }{ x+2 }. \)

Mnożąc powyższe równanie obustronnie przez mianownik lewej strony mamy równanie

\( 4x+3=A(x+2)+B(x+1), \)

które po przekształceniu ma postać

\( 4x+3=(A+B)x+2A+B. \)

Wtedy współczynniki \( A, B \) spełniają warunki

\( \begin{cases} A+B=4 \\\\2A+B=3\end{cases} \)

i stąd \( A=-1, B=5. \)

Wracając do całki mamy

\( I=\int \frac{ 4x+3 }{ x^2+3x+2 } dx = \int \left(\frac{ -1 }{ x+1 } +\frac{ 5 }{ x+2 } \right) dx=-\int \frac{ 1 }{ x+1 } dx +5 \int \frac{ 1 }{ x+2 } dx \)

Ostatecznie otrzymujemy

\( I=- \ln|x+1|+5 \ln|x+2|+C. \)

Przykład 2:

Obliczmy całkę z ułamka wymiernego

\( \int \frac{ 2x-3 }{ x^2+4x+4 } dx. \)

Do rozwiązania całki zastosujemy rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste. Najpierw zauważmy, że w ułamku wymiernym mianownik rozłożony na czynniki ma postać

\( x^2+4x+4=(x+2)^2. \)

Stąd otrzymujemy rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste

\( \frac{ 2x-3 }{ x^2+4x+4 }= \frac{ A }{ x+2 } + \frac{ B }{ (x+2)^2 }. \)

Mnożąc równanie przez \( (x+2)^2 \) otrzymujemy

\( 2x-3=A(x+2)+B, \)

a więc współczynniki \( A, B \) spełniają układ równań postaci

\( \begin{cases} A=2 \\\\2A+B=-3\end{cases} \)

i stąd dostajemy \( A=2, B=-7 \). Wracając do całki mamy

\( I=\int \frac{ 2x-3 }{ x^2+4x+4 } dx = \int \left(\frac{ 2 }{ x+2 } + \frac{ -7 }{ (x+2)^2 } \right) dx = 2\int \frac{ 1 }{ x+2 } dx -7 \int \frac{ 1 }{ (x+2)^2 } \, dx \)

co ostatecznie daje

\( I=2 \ln|x+2| +\frac{ 7 }{ x+2 } +C. \)

Przykład 3:

Obliczmy całkę z ułamka wymiernego

\( \int \frac{ 4x^3-3x^2-2x+2 }{ x^4-x^3 } dx. \)

Najpierw zamienimy mianownik funkcji podcałkowej na iloczyn

\( x^4-x^3=x^3(x-1). \)

Stąd dostajemy następujący rozkład na ułamki proste

\( \frac{ 4x^3-3x^2-2x+2 }{ x^4-x^3 } = \frac{ 4x^3-3x^2-2x+2 }{ x^3(x-1) } = \frac{ A }{ x }+ \frac{ B }{ x^2 }+\frac{ C }{ x^3 }+\frac{ D }{ x-1 }. \)

Mnożąc równanie przez \( x^4-x^3, \) otrzymujemy równanie

\( 4x^3-3x^2-2x+2=Ax^2(x-1)+Bx(x-1)+C(x-1)+Dx^3, \)

które po pogrupowaniu wyrazów jest postaci

\( 4x^3-3x^2-2x+2=(A+D)x^3+(-A+B)x^2+(-B+C)x-C. \)

Szukane współczynniki \( A, B, C, D \) spełniają zatem układ równań

\( \begin{cases} A+D=4 \\\\-A+B=-3 \\\\-B+C=-2 \\\\ -C=2 ,\end{cases} \)

którego rozwiązaniem są liczby \( A=3, B=0, C=-2, D=1. \)
Wracając do całki mamy

\( \begin{align*}I&=\int \frac{ 4x^3-3x^2-2x+2 }{ x^4-x^3 } \, dx = \int \left(\frac{ 3 }{ x }-\frac{ 2 }{ x^3 }+\frac{ 1 }{ x-1 }\right) dx \\&=3 \int \frac{ dx }{ x } -2 \int \frac{ dx }{ x^3 } + \int \frac{ dx }{ x-1 }= 3 \ln|x| - 2 \cdot \frac{ x^{ -2 } }{ -2 }+\ln|x-1|+C\end{align*} \)

Ostatecznie

\( I=3 \ln|x| + \frac{ 1 }{ x^2 }+\ln|x-1|+C. \)

Twierdzenie 2: o całkowaniu ułamków prostych drugiego rodzaju

Do obliczenia całki

\( \int \frac{ Bx+C }{ (x^2+b x+c)^n } dx \)

korzystamy z wzoru

(1)

\( \int \frac{ Bx+C }{ (x^2+bx+c)^n }dx= \frac{ B }{ 2 } \int \frac{ 2x+b }{ (x^2+bx+c)^n } dx +\left(C-\frac{ B b }{ 2 }\right) \int \frac{ dx }{ (x^2+bx+c)^n } \)

oraz postaci kanonicznej funkcji kwadratowej

\( x^2+bx+c = \left( x-p \right)^2+q, \)

gdzie \( p=-\frac{ b }{ 2 }, q=-\frac{ \Delta }{ 4 } \).

Pierwszą z całek ze wzoru ( 1 ) obliczamy w następujący sposób

\( \int \frac{ 2x+b }{ (x^2+bx+c)^n } dx = \frac{ 1 }{ (1-n)(x^2+bx+c)^{ n-1 } }+C. \)

Do drugiej całki ze wzoru ( 1 ) stosujemy podstawienie \( t=x+\frac{ b }{ 2 } \)
i po przekształceniu mianownika do postaci \( \left(t^2+\alpha^2\right)^n \) \( (\alpha \neq0) \), otrzymaną całkę obliczamy według wzorów

\( \int \frac{ dt }{ t^2+\alpha^2 } = \frac{ 1 }{ \alpha } \text{ arctg }{ \frac{ t }{ \alpha } }+C, \)

(2)

\( \int \frac{ dt }{ \left(t^2+\alpha^2\right)^n } = \frac{ 1 }{ 2n-2 } \cdot \frac{ t }{ \alpha^2\left(t^2+\alpha^2\right)^{ n-1 } } + \frac{ 2n-3 }{ 2n-2 } \cdot \frac{ 1 }{ \alpha^2 } \int \frac{ dt }{ \left(t^2+\alpha^2\right)^{ n-1 } }, n\geq 2. \)

Przykład 4:

Obliczmy całkę z ułamka wymiernego

\( \int \frac{ 3x+4 }{ x^2+2x+6 } dx. \)

\( \begin{align*}I&=\int \frac{ 3x+4 }{ x^2+2x+6 } dx=\frac{ 3 }{ 2 } \int \frac{ 2x+2 }{ x^2+2x+6 } dx + \int \frac{ 1 }{x^2+2x+6 } dx =\left| \substack{ x^2+2x+6= \\ =(x+1)^2+5 } \right| \\&=\frac{ 3 }{ 2 } \ln|x^2+2x+6| + \int \frac{ 1 }{ (x+1)^2+5 } dx =\left| \substack{ t=x+1 \\ dt=dx } \right| \\&=\frac{ 3 }{ 2 } \ln|x^2+2x+6| + \int \frac{ 1 }{ t^2+5 } dt\\&=\frac{ 3 }{ 2 } \ln|x^2+2x+6| + \frac{ 1 }{ \sqrt{ 5 } } \text{ arctg } \frac{ t }{ \sqrt{ 5 } }+C\\&=\frac{ 3 }{ 2 }\ln|x^2+2x+6| + \frac{ \sqrt{ 5 } }{ 5 } \text{ arctg } \frac{ x+1 }{ \sqrt{ 5 } }+C.\end{align*} \)

Przykład 5:

\( \int \frac{ 3x-5 }{ 4x^2-x+1 }dx. \)

Zauważmy, że w powyższym przykładzie współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od 1 ( \( a=4 \)), więc aby móc skorzystać z wzoru ( 1 ) musimy najpierw przekształcić całkę (wystarczy tylko wyciągnąć stałą przed całkę)

\( \begin{align*}I&=\int \frac{ 3x-5 }{ 4x^2-x+1 } dx= \frac{ 1 }{ 4 } \cdot \int \frac{ 3x-5 }{ x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 } } dx\\&=\frac{ 1 }{ 4 } \left( \frac{ 3 }{ 2 } \cdot \int \frac{ 2x-\frac{ 1 }{ 4 } }{ x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 } } dx- \frac{ 37 }{ 8 } \cdot \int \frac{ 1 }{ x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 } } dx \right) =\left| \substack{ x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 }=\\ =\left(x-\frac{ 1 }{ 8 }\right)^2+\frac{ 15 }{ 64 } } \right| \\&=\frac{ 3 }{ 8 } \ln\left|x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 }\right| - \frac{ 37 }{ 32 } \int \frac{ 1 }{ (x-\frac{ 1 }{ 8 })^2+\frac{ 15 }{ 64 } } dx =\left| \substack{ t=x-\frac{ 1 }{ 8 } \\ dt=dx } \right|\\&=\frac{ 3 }{ 8 } \ln\left|x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 }\right| - \frac{ 37 }{ 32 } \int \frac{ 1 }{ t^2+\frac{ 15 }{ 64 } } dt\\&=\frac{ 3 }{ 8 } \ln\left|x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 }\right| - \frac{ 37 }{ 32 } \cdot \frac{ 8 }{ \sqrt{ 15 } } \text{ arctg } \frac{ 8t }{ \sqrt{ 15 } }+C\\&=\frac{ 3 }{ 8 } \ln\left|x^2-\frac{ 1 }{ 4 }x+\frac{ 1 }{ 4 }\right| - \frac{ 37 }{ 4\sqrt{ 15 } } \text{ arctg } \frac{ 8x-1 }{ \sqrt{ 15 } }+C.\end{align*} \)

Przykład 6:

Obliczmy całkę z ułamka wymiernego

\( \int \frac{ dx }{ x(x^2+2x+3) }. \)

Ułamek wymierny \( \frac{ 1 }{ x(x^2+2x+3) } \) ma następujący rozkład na ułamki proste

\( \frac{ 1 }{ x(x^2+2x+3) }=\frac{ A }{ x } +\frac{ Bx+C }{ x^2+2x+3 }. \)

Mnożąc powyższe równanie przez wspólny mianownik lewej strony i grupując wyrazy podobne otrzymujemy

\( 1=A(x^2+2x+3)+(Bx+C)x \)

\( 1=(A+B)x^2+(2A+C)x+3A. \)

Zatem szukane współczynniki spełniają układ równań

\( \begin{cases} A+B=0\\\\2A+C=0\\\\3A=1.\end{cases} \)

Stąd \( A= \frac{ 1 }{ 3 }, B= -\frac{ 1 }{ 3 }, C=-\frac{ 2 }{ 3 }. \) Następnie wracając do całki mamy

\( \begin{align*}I&= \int \frac{ dx }{ x(x^2+2x+3) }\\&= \int \left(\frac{ \frac{ 1 }{ 3 } }{ x } +\frac{ -\frac{ 1 }{ 3 }x-\frac{ 2 }{ 3 } }{ x^2+2x+3 } \right) dx\\&=\frac{ 1 }{ 3 } \int \frac{ dx }{ x } -\frac{ 1 }{ 3 }\int \frac{ x+2 }{ x^2+2x+3 } dx\\&=\frac{ 1 }{ 3 } \ln|x|-\frac{ 1 }{ 3 }\left(\frac{ 1 }{ 2 }\int \frac{ 2x+2 }{ x^2+2x+3 } dx + \int \frac{ 1 }{ x^2+2x+3 } dx \right)\\&=\frac{ 1 }{ 3 } \ln|x|-\frac{ 1 }{ 6 }\ln|x^2+2x+3| dx -\frac{ 1 }{ 3 } \int \frac{ dx }{ (x+1)^2+2 } =\left| \substack{ t=x+1 \\ dt=dx } \right|\\&=\frac{ 1 }{ 3 } \ln|x|-\frac{ 1 }{ 6 }\ln|x^2+2x+3| dx -\frac{ 1 }{ 3 } \int \frac{ dt }{ t^2+2 }\\&=\frac{ 1 }{ 3 } \ln|x|-\frac{ 1 }{ 6 }\ln|x^2+2x+3| dx -\frac{ 1 }{ 3 }\cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } \text{ arctg } \frac{ t }{ \sqrt{ 2 } }+C\\&=\frac{ 1 }{ 3 } \ln|x|-\frac{ 1 }{ 6 }\ln|x^2+2x+3| dx -\frac{ \sqrt{ 2 } }{ 6 } \text{ arctg } \frac{ x+1 }{ \sqrt{ 2 } }+C.\end{align*} \)

Zadanie 1:

Treść zadania:

Obliczmy całkę z ułamka wymiernego

\( \int \frac{ x^2 }{ x^4-1 } dx. \)

Zadanie 2:

Treść zadania:

Oblicz całkę z ułamka wymiernego

\( \int \frac{ dx }{ (2x^2+3x+4)^3 }. \)

Rozwiązanie:

Do obliczenia powyższej całki skorzystamy ze wzoru rekurencyjnego ( 2 ) z twierdzenia o całkowaniu ułamków prostych drugiego rodzaju. Aby móc skorzystać ze wzoru rekurencyjnego musimy najpierw przekształcić funkcję kwadratową z mianownika do postaci kanonicznej, a mianowicie

\( 2x^2+3x+4=2\left(x+\frac{ 3 }{ 4 }\right)^2+\frac{ 23 }{ 8 }=2\left(\left(x+\frac{ 3 }{ 4 }\right)^2+\frac{ 23 }{ 16 }\right). \)

Stąd mamy

\( \begin{align*}I&=\int \frac{ dx }{ (2x^2+3x+4)^3 }=\int \frac{ dx }{ \left(2\left(x+\frac{ 3 }{ 4 }\right)^2+\frac{ 23 }{ 8 }\right)^3 }\\&=\int \frac{ dx }{ 2^3 \left(\left(x+\frac{ 3 }{ 4 }\right)^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^3 }= \left| \substack{ t=x+\frac{ 3 }{ 4 } \\ dt=dx } \right| = \frac{ 1 }{ 8 } \int \frac{ dt }{ \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^3 }\end{align*} \)

Do tak przekształconej całki możemy skorzystać ze wzoru rekurencyjnego ( 2 ), przyjmując \( n=3 \) oraz \( \alpha^2=\frac{ 23 }{ 16 } \) otrzymujemy

\( I=\frac{ 1 }{ 8 } \left( \frac{ 1 }{ 4 } \cdot \frac{ t }{ \frac{ 23 }{ 16 } \cdot \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^2 } + \frac{ 3 }{ 4 } \cdot \frac{ 16 }{ 23 } \cdot \int \frac{ dt }{ \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^2 }\right)= \frac{ t }{ 46 \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^2 } + \frac{ 3 }{ 46 } \int \frac{ dt }{ \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^2 } \)

Do otrzymanej całki po zastosowaniu wzoru rekurencyjnego ponownie stosujemy wzór ( 2 ) z twierdzenia o całkowaniu ułamków prostych drugiego rodzaju, przyjmując \( n=2 \) oraz \( \alpha^2=\frac{ 23 }{ 16 } \).

Zatem

\( \begin{align*}I &= \frac{ t }{ 46 \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^2 } + \frac{ 3 }{ 46 } \left( \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ t }{ \frac{ 23 }{ 16 } \cdot \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right) } + \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ 16 }{ 23 } \cdot \int \frac{ dt }{ t^2+\frac{ 23 }{ 16 } } \right)\\&=\frac{ t }{ 46 \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^2 } + \frac{ 12t }{ 23^2 \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right) } + \frac{ 12 }{ 23^2 } \int \frac{ dt }{ t^2+\frac{ 23 }{ 16 } }\\&= \frac{ t }{ 46 \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right)^2 } + \frac{ 12t }{ 23^2 \left(t^2+\frac{ 23 }{ 16 } \right) } + \frac{ 12 }{ 23^2 } \cdot \frac{ 4 }{ \sqrt{ 23 } } \text{ arctg }{ \frac{ 4t }{ \sqrt{ 23 } } } +C\end{align*} \)

Wracając do podstawienia \( t=x+\frac{ 3 }{ 4 } \) otrzymujemy odpowiedź

\( I=\frac{ x+\frac{ 3 }{ 4 } }{ 46 \left(x^2+\frac{ 3 }{ 2 }x+2 \right)^2 } + \frac{ 12x+9 }{ 23^2 \left(x^2+\frac{ 3 }{ 2 }x+2 \right) } + \frac{ 48 }{ 23^2 \sqrt{ 23 } } \text{ arctg }{ \frac{ 4x+3 }{ \sqrt{ 23 } } } +C. \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Całkowanie ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju

Twierdzenie 1: o całkowaniu ułamków prostych pierwszego rodzaju

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3:

Twierdzenie 2: o całkowaniu ułamków prostych drugiego rodzaju

Przykład 4:

Przykład 5:

Przykład 6:

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie: